量子测量与量子图灵机¶

目录¶

量子态演化
量子测量
通用量子门
计算模型对比：量子图灵机 vs 量子电路

1. 量子态演化¶

波函数与哈密顿量¶

波函数 (Wave Function) ψ(x): 量子力学的基本假设，是一个复函数。
- 概率幅: ψ(x) 本身是概率幅。
- 概率密度: |ψ(x)|² 表示粒子在某位置出现的概率密度。
- 归一化条件: 波函数必须满足归一化条件，即在全空间中找到粒子的总概率为1 ($\int |\psi(x)|^2 dx = 1$)。
哈密顿量 (Hamiltonian) H: 一个对应系统总能量的厄米算符 (Hermitian Operator)。
- 构成: 由动能项和势能项组成： $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})$
- 本征值: H 的本征值是系统所有可能的能量取值（能级）。
- 本征态: H 的本征态是对应能量值下的稳定状态。
- 在量子计算中的作用: 哈密顿量描述了量子比特的演化和控制，是实现量子门操作和算法的物理基础。

薛定谔方程与时间演化¶

量子态的演化遵循薛定谔方程。 $$ i\hbar \frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H|\psi(t)\rangle $$

对于一个与时间无关的哈密顿量 H，该方程的解描述了量子态从初始状态 $|\psi(0)\rangle$ 到任意时刻 t 的状态 $|\psi(t)\rangle$ 的演化过程。
时间演化算子 U: $$ |\psi(t)\rangle = e^{\frac{-iHt}{\hbar}} |\psi(0)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle $$
- 这个算子 $U(t) = e^{\frac{-iHt}{\hbar}}$ 描述了整个系统的演化过程。
- 幺正演化
  时间演化算子 U 必须是幺正的 (Unitary)。这保证了在演化过程中，量子态的长度（总概率）始终为1，即演化过程是物理上允许的。

线性演化 vs 非线性坍缩¶

量子态的演化过程分为两种：

线性演化过程:
- 条件: 系统未被测量时。
- 描述: 遵循薛定谔方程，由幺正算子 U 描述。
- 例子: 作用量子门就是一种确定的、线性的演化。
非线性坍缩过程:
- 条件: 对系统进行测量时。
- 描述: 系统会立即、随机地从初始叠加态坍缩到被测量的可观测量的一个本征态上。
- 例子: 量子电路末端的测量操作。

总结

薛定谔方程是描述量子门操作（线性演化）的最底层理论基础，而测量则引入了非线性的状态坍缩。

2. 量子测量¶

特征值分解（谱分解）的含义¶

特征向量 (Eigenvector): 矩阵变换作用下，方向不变，只进行伸缩的向量。它代表了变换的“主轴”。
特征值 (Eigenvalue): 对应特征向量的伸缩比例。它代表了在该“主轴”方向上变换的强度。

特征值分解的含义

特征值 表示一个特征有多重要（值越大越重要）。
特征向量 表示这个特征是什么（方向）。
矩阵 A 的所有信息都可以由其特征值和特征向量完全表示。

谱分解与投影算子¶

对于任意厄米算符 A（在量子力学中称为可观测量），可以进行谱分解： $$ A = \sum_i \lambda_i P_i $$ * $\lambda_i$: 是 A 的特征值，代表了物理上可能测量到的结果。 * $P_i$: 是投影到 $\lambda_i$ 对应本征态（或本征空间）的投影算子。

投影算子 (Projection Operator)¶

定义: 将任意向量投影到特定方向 $|e_k\rangle$ 上的算子，定义为 $P_k = |e_k\rangle\langle e_k|$。
前提: 所有的投影方向 $\{|e_k\rangle\}$ 必须构成一个标准正交基。
三大核心性质:
1. 幂等性 (Idempotence): $P_k^2 = P_k$
  - （投影一次和投影两次的效果一样。）
2. 正交性 (Orthogonality): $P_k P_j = 0$ (当 $k \neq j$)
  - （投影到X轴后，再投影到Y轴，结果为零。）
3. 完备性 (Completeness): $\sum_k P_k = I$
  - （将一个向量在所有基准方向上的投影分量加起来，会完美复原原始向量。）

测量公设（核心规则）¶

对处于状态 $|\psi\rangle$ 的系统进行测量，测量的物理量为可观测量 A：

可能的结果: 测量的结果必然是 A 的某个特征值 $\lambda_i$。
概率: 测量得到结果 $\lambda_i$ 的概率 $p_i$ 为： $$ p_i = \langle \psi | P_i | \psi \rangle $$
- 其中 $P_i$ 是投影到 $\lambda_i$ 对应本征态的投影算子。
- 如果本征态是 $|\lambda_i\rangle$，公式等价于 $p_i = |\langle \lambda_i | \psi \rangle|^2$。
状态坍缩: 如果测量结果为 $\lambda_i$，测量后系统的状态会立即坍缩到对应的本征态上： $$ |\psi_{\text{after}}\rangle = \frac{P_i |\psi\rangle}{\sqrt{p_i}} $$
- 分母 $\sqrt{p_i}$ 是为了对坍缩后的状态进行归一化。

示例：单比特测量¶

状态: $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
投影算子: $P_0 = |0\rangle\langle 0| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $P_1 = |1\rangle\langle 1| = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
测量得到0的概率: $p(0) = \langle\psi|P_0|\psi\rangle = |\alpha|^2$
测量后状态 (若得到0): $\frac{P_0|\psi\rangle}{\sqrt{p(0)}} = \frac{\alpha|0\rangle}{|\alpha|} = |0\rangle$ (忽略全局相位)
测量得到1的概率: $p(1) = \langle\psi|P_1|\psi\rangle = |\beta|^2$
测量后状态 (若得到1): $|1\rangle$

量子态区分公设¶

正交态: 如果一组量子态 $\{|\psi_i\rangle\}$ 是相互正交的，那么一定存在一种测量，可以完美地将它们区分开。
非正交态: 如果量子态之间不是相互正交的，那么不存在任何测量可以百分之百地精确区分它们。

3. 通用量子门¶

定义: 一组基础的量子门，通过它们的组合可以近似实现任意的量子操作（即任意的酉矩阵 U）。
类比: 类似于经典计算中的“与非门”(NAND) 或“或非门”(NOR)，它们可以组合出所有经典逻辑。

通用门集

最常用的严格意义上的通用门集是：{ CNOT门, 所有单比特门 }
其他常见的通用门集包括：{ H门, S门, CNOT门, T门(π/8门) }

量子门分解 (Quantum Gate Decomposition)¶

思想: 将一个复杂的目标酉操作 U，分解为一系列通用量子门的乘积。
性质: 这是一种近似方法，结果可能不是完美的。分解的精度取决于所用门集的复杂度和序列的长度。
Solovay-Kitaev定理: 描述了分解的代价。要以精度 $\epsilon$ 近似一个单比特门，需要的门数量级为 $O(\log^c(1/\epsilon))$。

4. 计算模型对比：量子图灵机 vs 量子电路¶

量子计算有两种主要的理论模型。

量子图灵机 (Quantum Turing Machine, QTM)¶

经典图灵机的量子版本，纸带上的符号和机器状态都处于叠加态。
问题: 理论上存在困难（如保证幺正性、停机问题），模型较为抽象，不便于设计算法。
意义: 是一种底层的、通用的计算模型，主要用于理论复杂性研究。

量子电路模型 (Quantum Circuit Model, QCM)¶

由姚期智在1993年提出，是目前事实上的标准模型。
核心概念:
1. 量子比特 (Qubit): 用线路表示。
2. 量子门 (Quantum Gate): 对量子比特进行操作和变换，用符号表示。
3. 量子测量 (Measurement): 获取计算结果，将量子态投影到经典态。

两者区别¶

特性	量子图灵机 (QTM)	量子电路模型 (QCM)
计算方式	迭代式 (读写头移动)	顺序执行式 (门作用于比特)
核心	状态转换和符号变化	量子比特间的相互作用和变换
性质	通用、底层、抽象	直观、可视化、实用

结论

量子图灵机为理论研究提供了基础，但现在我们提到量子计算时，基本默认使用量子电路模型来描述和设计量子算法。