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量子计算与线性代数核心概念笔记

核心思想

量子计算的底层数学语言就是线性代数。理解量子力学中的概念，本质上是理解它们在线性代数中的对应关系。 预修要求: 线性代数! 线性代数! 线性代数!

1. 量子比特 (Qubit) - 状态即向量

量子计算中最基本的信息单元是量子比特（Qubit）。它的状态可以用一个向量来精确描述。

1.1. 计算基态

任何一个量子比特的状态都可以由两个最基础的状态——计算基态 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) ——来表示。

在线性代数中，它们被定义为一组单位正交基（Orthonormal Basis），并表示为列向量：

\[ | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad , \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
  • 单位（归一化）: 向量的长度为1。
  • 正交: 向量之间相互垂直（它们的内积为0）。这代表了 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 是完全可以区分的测量结果。

1.2. 叠加态

与经典比特不同，量子比特可以处在 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 的线性叠加状态。一个通用的量子比特状态 \(|\psi\rangle\) 可以写为：

\[ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \]

其对应的向量形式为：

\[ |\psi\rangle = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \]
  • \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数，被称为概率幅（Amplitudes）。
  • 它们描述了测量时，量子比特坍缩到基态的概率：
    • 测量到 \(|0\rangle\) 的概率是 \(P(0) = |\alpha|^2\)
    • 测量到 \(|1\rangle\) 的概率是 \(P(1) = |\beta|^2\)
  • 概率之和必须为1，因此它们必须满足归一化条件： \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)。

2. 量子门 - 操作即矩阵

对量子比特进行的操作被称为量子门。在线性代数中，每一个量子门都对应一个矩阵。将量子门作用于一个量子比特，等价于用门所对应的矩阵左乘量子比特的状态向量。

2.1. 案例：X门 (量子非门)

X门的功能类似于经典计算中的NOT门，它可以翻转量子比特的状态。

  • 目标: \(X|0\rangle = |1\rangle\) 并且 \(X|1\rangle = |0\rangle\)

  • 矩阵表示:

    \[ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

  • 线性代数验证:

    \[X|0\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1\rangle\]
    \[X|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |0\rangle\]

  • 对叠加态的作用: 量子门的线性性质是其强大之处。

    $$ X|\psi\rangle = X \begin{pmatrix} \alpha \ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta \ \alpha \end{pmatrix} = \beta|0\rangle + \alpha|1\rangle $$ X门的作用是交换了状态向量中 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 的概率幅。

2.2. 案例：H门 (哈达玛门)

H门是创造叠加态的关键。

  • 矩阵表示:

    \[ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]

  • 核心作用:

    • \(H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) (创造了等概率的叠加态)
    • \(H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\) (创造了带有相位的叠加态)

关键特性

所有单量子比特门都可以由一个 \(2 \times 2\) 的幺正矩阵（Unitary Matrix）来表示。幺正矩阵能保证在变换过程中，向量的长度始终为1，即总概率守恒。

3. 多量子比特系统 - 组合即张量积

当系统包含多个量子比特时，我们需要一个更大的向量空间来描述整个系统的组合状态。这个组合的数学工具就是张量积 (Tensor Product, ⊗)。

  • 规则: 将第一个矩阵的每一个元素，乘以整个第二个矩阵，形成一个分块矩阵。

    \[ A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{pmatrix} \]

  • 案例分析: 一个双比特电路上，先对第一个比特施加H门（第二个比特不变，即施加I门），然后对两个比特施加SWAP门。

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    1. 第一步操作 (H ⊗ I):

      \[ H \otimes I = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cdot I & 1 \cdot I \\ 1 \cdot I & -1 \cdot I \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

    2. 第二步操作 (SWAP): SWAP门用于交换两个量子比特的状态，其矩阵为：

      \[ SWAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

    3. 最终等效矩阵: 操作顺序对应矩阵从右到左相乘。

      $ U_{total} = (SWAP) \cdot (H \otimes I) $ 这个乘法的结果就是将 \((H \otimes I)\) 矩阵的第二行和第三行交换，得到PPT中的最终结果。

4. 测量 - 从量子到经典

量子计算过程是演化，而要获得最终结果，必须进行测量。

  • 测量是一个概率性过程。对于一个2比特系统状态 \(|\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle\)，测量得到 \(|01\rangle\) 的概率为 \(|\alpha_{01}|^2\)。
  • 测量会使量子态坍缩到你所测量的那个基态上。
  • 为了得到可靠的概率分布，需要对同一个量子电路多次运行和测量，最终得到如PPT中柱状图所示的测量分布。这是获得问题解的必须步骤。

5. 术语对照表：量子力学 vs. 线性代数

量子力学术语 (Quantum Mechanics) 线性代数术语 (Linear Algebra) 简要说明
态矢量 (State Vector) 向量 (Vector) 描述量子系统状态的数学对象。
算符 (Operator) 矩阵 (Matrix) 对量子态进行操作的数学工具。
线性算符 (Linear Operator) 线性变换 (Linear Transformation) 保持向量加法和标量乘法不变的变换。
右矢 (ket) \(\| a \rangle\) 列向量 (Column Vector)
左矢 (bra) \(\langle a \|\) 行向量 (Row Vector)
\(\langle a\|b \rangle\) a和b向量的内积 (Inner Product) 计算一个态在另一个态上的投影幅度。
\(\|a\rangle\langle b\|\) a和b的张量积构成的投影矩阵 一个向量到另一个向量方向的投影操作。
本征态 (Eigenstate) 特征向量 (Eigenvector) 算符作用下，方向不变只做缩放的特殊态。
本征值 (Eigenvalue) 特征值 (Eigenvalue) 上述缩放的比例因子，代表可测量的物理量。
基态 (Ground State) 最小本征态 (Eigenstate with Lowest Eigenvalue) 能量最低、最稳定的本征态。
幺正算符 (Unitary Operator) 正交/幺正矩阵 (Orthogonal/Unitary Matrix) 保持向量长度（总概率）不变的可逆操作。
厄米矩阵 (Hermitian Matrix) 自伴矩阵 (Self-adjoint Matrix) 代表物理可观测量，其特征值必为实数。
线性叠加原理 (Superposition) 线性组合性质 (Linearity) 多个状态可以线性组合成一个新的有效状态。
投影算符 (Projection Operator) 投影矩阵 (Projection Matrix) 用于描述测量过程的数学工具。